واژه ی سياه چاله اولين بار توسط فيزيکدان ها معرفی شد. سياه چاله به جايگاهی در فضا گفته ميشود که قابل رويت نيست (به عبارت ديگر سياه است.) ويژگی ديگر سياه چاله اين است که اجرام سماوی را که به آن نزديک می شوند. در خود محو می نمايد. در اين مقاله درباره سياه‌چاله‌هاي شگفت‌انگيز رياضي نيز بحث خواهيم كرد.

استاد علي‌اكبر جعفري

استاد علی اکبر جعفری

مقدمه : واژه ی «سياه چاله » اولين بار توسط فيزيکدان ها معرفی شد. اين واژه از دو قسمت سياه و چاله تشکيل شده است. سياه چاله به جايگاهی در فضا گفته ميشود که قابل رويت نيست (به عبارت ديگر سياه است.) ويژگی ديگر سياه چاله اين است که اجرام سماوی را که به آن نزديک می شوند، جذب می کند و در خود محو می نمايد. انسان هنوز قادر نيست محل دقيق اين سياه چاله ها را مشخص کند اما می دانيم که جاهائی در فضا هستند که مانند گرداب عمل می کنند و ستارگان و اجرام سماوی در يک مسير مار پيچ به اين گرداب جذب می شوند. مطالب بيشتر در باره ی سياه چاله ها: به طور مختصر، سياه چاله قسمتی از فضاست که جرم بسیار زیادی در آن متمرکز شده است و هیچ جرمی در مجاورت آن نمی تواند از گرانش آن بگریزد. در حال حاضر بهترین نظریه در مورد گرانش، نظریه ی نسبیت عام اینشتین است. ما نیز برای درک بهتر جزئیات سياه چاله ها باید به برخی نتایج نسبیت عام رجوع کنیم. اما بیایید با تفکر در مورد گرانش در محیط های عادی و در سطوح ساده شروع کنیم. فرض کنید که بر روی سطح یک سیاره ایستاده‌اید و یک سنگی را به بالا پرتاب می کنید. فرض کنید که آن را با قدرت زياد پرتاب نکرده اید. سنگ برای مدت کوتاهی به بالا حرکت می کند، اما پس از مدتی شتاب گرانش سیاره آن را مجبور به سقوط می کند. اگر شما سنگ را آن چنان پر قدرت پرتاب کنید که از گرانش سیاره کاملا رها شود، برای همیشه به بالا رفتن خود ادامه می دهد. سرعتی که شما نیاز دارید تا به سنگ بدهید و از گرانش سیاره رهایش کنید سرعت گریز نامیده می شود. همان طور که می دانید سرعت گریز سیاره به جرم آن بستگی دارد. اگر سیاره چگال باشد، گرانش آن بسیار قوی خواهد بود، و سرعت گریز بالا می رود. اما یک سیاره ی سبک تر سرعت گریز کمی خواهد داشت. سرعت گریز همچنین به فاصله از مرکز سیاره نیز بستگی دارد. هر چقدر که به مرکز سیاره نزدیکتر باشید سرعت گریز شما بیشتر خواهد شد. سرعت گریز زمین 11.2 کیلومتر بر ثانیه است. در حالی که سرعت گریز ماه فقط 2.4 کیلومتر بر ثانیه است. حال قسمتی از فضا را در نظر بگیرید که حاصل تمرکز عظیمی از جرم با شعاع کم است که سرعت گریز آن بالاتر از سرعت نور است. در حالی که هیچ چیز نمی تواند بالاتر از سرعت نور حرکت کند، هیچ چیزی نمی تواند از گرانش آن بگریزد. حتی یک باریکه ی نور نیز نخواهد توانست از گرانش آن بگریزد و به سوی آن برمیگردد. ایده ی چنین تمرکز جرمی که آنقدر چگال باشد که حتی نور در آن گیر بيافتد مربوط به لاپلاس در قرن 18 می باشد. در حقیقت بلافاصله بعد از اینکه اینشتین نسبیت عام خود را بسط داد کارل شوارتز شیلد راه حلی رياضی را که مربوط به معادله ی نظریه ای که این جرم را توضیح می داد کشف کرد. کمی بعد تلاش افرادی چون Oppenheimer، Volkoff و Synder در سال 1930 بود که باعث شد مردم جدی تر در مورد امکان وجود چنین جرمی در عالم فکر کنند. این تحقیقات نشان می دهد که موقعی که یک ستاره ی چگال سوخت خود را تمام می کند نمی تواند خود را در مقابل گرانش خود حفظ کرده به یک سياه چاله تبدیل می شود. در نسبیت عام، گرانش باعث ایجاد خمیدگی در فضا – زمان می شود. اجرام چگال باعث ایجاد خمیدگی در فضا و زمان می شوند. بنابراین قوانین معمولی هندسه را در این موارد نمیتوان به کار برد. در کنار یک سياه چاله این خمیدگی فضا به مراتب بیشتر است و همین باعث می شود که سياه چاله خواص عجیبی داشته باشد. یک سياه چاله چیزی دارد که به خط افق اتفاق (event horizon) مشهور است. این سطحی کروی شکلی است که مرز سياه چاله را تعیین می کند. شما می توانید وارد آن شوید اما دیگر نمی توانید برگردید. به محض اینکه وارد افق شوید محکوم به نزدیک شدن به مرکز سياه چاله بدون هیچ توقفی خواهید بود. می توان گفت که خط افق جایی است که در آن سرعت گریز برابر سرعت نور است. بیرون از افق سرعت گریز کمتر از سرعت نور خواهد بود. پس اگر شما موشک های خود را به سختی به کار بگیرید می توانید از آن رها شوید. اما اگر داخل افق باشید هر چقدر هم که موشک های شما قوی باشند نمی توانید از آن بگریزید. خط افق خواص هندسی عجیبی دارد. برای مشاهده کننده ای که جایی دور از سياه چاله نشسته، خط افق مانند یک کره ی بسیار زیبا و ساکن و بدون هیچ حرکتی جلوه می کند. اما هنگامی که به آن نزدیکتر می شوید در می یابید که سرعت بسیار زیادی دارد. در حقیقت این افق با سرعتی برابر سرعت نور به بیرون حرکت می کند. این بیان می کند که چرا ورود به افق بسیار آسان است. اما خروج از آن ممکن نیست. در حالی که افق با سرعت نور به خارج حرکت می کند برای خارج شدن از آن باید با سرعتی بیشتر از سرعت نور حرکت کرد. اما چون نمی توان بیش از سرعت نور حرکت کرد پس نمی توان از آن خارج شد. هنگامی که شما در افق هستید، فضا- زمان آنقدر منحرف می شود تا جایی که مختصاتی که فاصله ی شعاعی شما را نشان می دهد با زمان تغییر وظیفه می دهد. همان شعاع که نشان می دهد چقدر از مرکز فاصله دارید مثل زمان کار خواهد کرد. یک پیامد آن این است که شما نمی توانید از نزدیک شدن به مرکز جلوگیری کنید. همانطور که در دنیای عادی نمی توانید جلوی آمدن آینده ی خود را بگیرید. (با این تفاوت که در سياه چاله شعاع کمتر می شود یعنی فاصله ی شما از مرکز کمتر می شود و در دنیای عادی زمان زیاد تر می شود.) در حقیقت شما مجبورید که به مرکز یا شعاع صفر بروید. شاید سعی کنید که با روشن کردن موشک های خود اين کار را انجام بدهید اما این کار نیز بی فایده است: به هر طرف که بدوید نمی توانید از آمدن آینده ی خود جلوگیری کنید. تلاش برای برگشت بعد از وارد شدن به افق مانند تلاش برای جلوگیری از آمدن روز بعد خواهد بود. حركت سياه‌چاله در كهكشان راه شيري سياه چاله های رياضی: در اين جا سعی می کنيم مجموعه هائی را مشخص کنيم که ويژگی گرداب ها يا سياه چاله های فضائی را دارند. به عبارت ديگر با تعريف فرايندهائی که در حکم نوعی جاذبه هستند ، هر عدد طبيعی را به مجموعه ی خاصی که سياه چاله ی رياضی می ناميم، هدايت کنيم. قبل از بيان تعريف ، به چند مثال توجه کنيد : الف ـــ سياه چاله ی زوج وفرد مثال ۱ ـــ عدد طبيعی زير را در نظر بگيريد : ۵۹۸۷۲۱۳۴۵۰۶۹۷۳۸ اين عدد ۱۵ رقم دارد ، ۶ رقم آن زوج و ۹ رقم آن فرد است. با ۱۵ و ۶ و ۹ عدد زير را می سازيم : ۱۵۶۹ اين عدد ۴ رقمی است ، ۱ رقم زوج و ۳رقم فرد دارد. با اين ارقام طبق همان دستور عدد زير ساخته ميشود : ۴۱۳ اين عدد ۳ رقمی است ، ۱ رقم زوج و ۲ رقم فرد دارد. با همان فرايند عدد زير حاصل ميشود : ۳۱۲ اگر فرايند مذکور را در باره ی اين عدد به کار ببريد ،مجددا همين عدد را خواهيد داشت. مثال ۲ ـــ اکنون عدد طبيعی زير را در نظر می گيريم : ۵۱۴۱۳۱۲۱۱۱۰۹۸۷۶۵۴۳۲۱۰ اين عدد ۲۱ رقمی است.تعداد ارقام زوج آن ۸ و تعداد ارقام فرد آن ۱۳ است. مطابق دستور العمل بالا به ترتيب خواهيم داشت: ۲۱۸۱۳ => ۵۲۳ => ۳۱۲ مثال ۳ـــ عدد يک رقمی ۸ نيز با همان فرايند به ۳۱۲ می رسد: اين عدد ۱ رقمی ، دارای ۱ رقم زوج بوده ورقم فرد ندارد. ۸ => ۱۱0 => ۳۱۲ اکنون اين سئوال مطرح است که اگر با هر عدد طبيعی شروع کنيم و فرايند بالا را به کار ببريم به عدد ۳۱۲ خواهيم رسيد ؟ ضمن مثال‌های قبل ملاحظه کرديد که از هر عددی شروع کنيم، به سرعت به يک عدد ۳ رقمی می رسيم. بنا بر اين کافی است حالت های مختلف ارقام يک عدد سه رقمی را از نظر تعداد ارقام زوج و فردبررسی کنيم. اين حالت ها عبارتند از : تعداد ارقام فرد تعداد ارقام زوج عدد سه رقمي ۳۱۲ <= 330 0 3 3 ۳۱۲ <= 321 1 2 3 ۳۱۲ 2 1 3 ۳۱۲ <= 303 3 0 3 بنا بر اين فرايند مذکور سياه چاله ی { ۳۱۲ } =A را معرفی می کند. تابع متناظر با آن عبارت است از : F ( n ) = abc که در آن a تعداد ارقام عدد ، b تعداد ارقام زوج و c تعداد ارقام فرد آن است. ب ـــ سياه چاله ی حروف : مثال ۱ ــ کلمه ی « گلپايگان » را در نظر بگيريد. تعداد حروف آن ۸ تا است. اين عدد را به فارسی می نويسيم : « هشت » اين کلمه ۳ حرف دارد. اين عدد را نيز به فارسی می نويسيم : « سه » کلمه ی اخير دارای ۲ حرف است. فارسی آن ميشود : « دو » اين کلمه ۲ حرف دارد. و از اين به بعد روی عدد ۲ متوقف می شويم. چرا؟ چند کلمه ی ديگر را با همين فرايند آزمايش می کنيم : مثال ۲ ـــ « آخاله » => ۵ => «پنج » => ۳ => « سه » =>۲ مثال ۳ ــ « مسجد جامع » => ۸ => « هشت » => ۳ => « سه » => ۲ مثال ۴ــ « هفده تن » => ۶ => « شش » => ۲ مثال ۵ ـــ « سيد السادات » => ۱۰ => « ده » => ۲ مثال ۶ ـــ « چو ايران نباشد تن من مباد » => ۲۰ => « بيست » => ۴ => «چهار » => ۴ => « چهار » => .......... به نظر می رسد مجموعه ی { ۲ ، ۴ } =A يک سياه چاله ی حروف است. در اين جا نيز با هر کلمه يا عبارتی شروع کنيم ، به سرعت به عددی يک رقمی می رسيم. آيا با اعمال فرايند مذکور به اعداد ۲ يا ۴ می رسيم ؟ تمام اعداد يک رقمی را آزمايش می کنيم.: يک => ۲ => دو => ۲ دو => ۲ سه => ۲ چهار => ۴ => چهار => ۴ پنج => ۳ => سه => ۲ شش => ۲ هفت => ۳ => سه => ۲ هشت => ۳ => سه => ۲ نه => ۲ اگر به جای حروف فارسی از حروف انگليسی استفاده کنيم و يا کلمه را به زبان آذری ، کردی ، و .... ادا کرده و باحروف بنويسيم، به سياه چاله های ديگری می رسيم.

golpayegan => 10 => ten => 3 => three => 5 => five => 4 => four => 4 akhale mahmood => 13 => thirteen => 8 => eight => 5 => five => 4 tohid niknami => 12 => twelve => 6 => six => 3 => three => 5 => five => 4 ali akbar jafari => 14 => fourteen => 8 => eight => 5 => five => 4

بنا بر اين مجموعه ی { ۴ } =A يک سياه چاله است. د ـــ عدد 6174 را در نظر بگيريد و ارقام آن را چنان جابه جا كنيد كه بزرگترين عدد ممكن از آنها ساخته شود ؛ يعني آنها را به ترتيب نزولي قرار دهيد . همچنين ارقام اين عدد را طوري جابه جا كنيد كه كوچكترين عدد ممكن از آنها تشكيل شود و عدد اخير را از عدد اول كم كنيد . خواهيد داشت : 6174 =1467-7641 كه همان عددي است كه با آن شروع كرديم . حال همين روش را در مورد عدد 4959 اجرا می كنيم . داريم 53550 = 4599- 9954 ظاهراً در اين مورد چيز قابل توجهي ديده نمي شود . اگر همين روش را در موردعدد 5355 به كار بريم ، به دست مي آوريم 1998 = 3555 – 5553 كه باز هم نكته خاصي در بر ندارد . مع هذا ، اگر اين روش را در مورد نتايج متوالي كه به اين طريق به دست مي آيند اعمال كنيم ، خواهيم داشت : 8082= 1899-9981 8532=0288- 8820 617۴=2358-8532 واقعيت اين است كه با هر عدد چهار رقمي اين كار را شروع كنيم ، به شرط اين كه ارقام عدد همگي يكسان نباشد ، اين روش عدد 6174 را در حد اكثر 7 مرحله به دست خواهد داد . اما تعداد اعداد چهار رقمی که همه ی ارقامشان با هم مساوی نيستند برابر ۸۹۹۱ است و آزمايش تمام آن ها ملال آور و دشوار است. لذا با استفاده از کامپيوتر و توانمندی های آن ضمن يک برنامه ريزی ، قضيه اثبات می شود. بنا بر اين مجموعه ی{ ۶۱۷۴} =A يک سياه چاله ی رياضی است. همين فرايند را در مورد هر عدد سه رقمی که رقم صدگان و يكان آن با هم مساوی نيستند اجرا کنيد به سياه چاله ی { ۴۹۵ } =A می رسيد. تمرين ـــ تابع F به هر عدد طبيعی مجموع مربعات ارقام آن عدد را متناظر می کند. نشان دهيد دنباله ای از اين اعداد در نهايت سياه چاله ی { ۱ ، ۴ } را ايجاد ميکند . درپاسخ به اين سئوال در می يابيد که بايد از توانمندی های کامپيوتر با يک برنامه ی ساده استفاده کنيد. _____________________________ منابع : 1- مقاله ی استفاده از کامپيوتر در اثبات احکام رياضی - دکتر اسماعيل بابليان استاد دانشگاه تربيت معلم C . P .H . theory -2 علی اکبر جعفری ۲۳ دی ماه ۱۳۸۵