d = 2R = 1
محیط n ضلعی منتظم محیطی	محیط n ضلعی منتظم محاطی	n
4641 / 3	3	6
2154 / 3	1058 / 3	12
1596 / 3	1326 / 3	24
1460 / 3	1393 / 3	48
1416 / 3	1414 / 3	96

 

بطلمیوس و روش وترها
حدود 150 سال بعد از میلاد اولین مقدار قابل توجه برای p بعد از ارشمیدس به وسیله بطلمیوس اسکندرانی در اثر معروفش Syntaxis Mathematica - که به عربی «المجسطی» معروف و بزرگترین اثر یونان قدیم درباره نجوم است- داده شده است. در این اثر عدد p در دستگاه شصت گانی به صورت ("30 8 3) آمده است.

این مقدار بدون تردید از جدول وترها که در رساله ظاهر می‌شود، استخراج شده است. در این جدول طول وترهای یک دایره که مقابل به زاویه مرکزی یک درجه قرار دارند محاسبه شده است. ملاحظه می‌کنید که طول وتر AB تقریباً با طول کمان AB مساوی است.

حدود سال 480 میلادی تسوچونک‌چی (Tsu chung-chi) از اولین دانشمندان چینی که در مکانیک کار می‌کردند تقریب گویای سیصد و پنجاه و پنج یکصد و سیزدهم را برای p بدست آوردد که تا 6 رقم اعشار صحیح و برابر ... 1415929 / 3 است.

محمدبن موسی خوارزمی درباره محاسبه اندازه محیط دایره چنین می‌گوید:



بررسی کار کاشانی برای محاسبه p
ریاضیدان بزرگ ایرانی غیاث‌الدین جمشید کاشانی در مفتاح‌الحساب چنین می‌نویسد:
«مقداری را که در رساله محیطیه برای نسبت محیط دایره به قطر آن به دست آورده‌ام، این است:
 

درجه	دقیقه	ثانیه	ثالثه
ج	ح	کط	مده

این جدول به این شکل گویا نیست و به رمز بیشتر شباهت دارد. رمزی که باید به کمک «حساب  ابجد» و عدد نویسی در مبنای شصت‌گانی گشوده شود. نتیجه این خواهد شد:

لازم به ذکر است که از ریاضیدان‌های ایرانی، دقیق‌ترین محاسبه  p متعلق به کاشانی است که در اواخر قرن چهاردهم و اوایل قرن پانزدهم میلادی می‌زیسته است. کاشانی با استفاده از روش کلاسیک ارشمیدس و با استفاده از ضلعی‌های منتظم محاطی و محیطی مقدار زیر را برای p به دست آورده است:

در سال 1579 میلادی «ویت» ریاضیدان بزرگ فرانسوی مقدار p را به روش کلاسیک با استفاده از ضلعی منتظم محاطی و محیطی تا 9 رقم اعشار پیدا کرد. وی همچنین را به عنوان  p برگزید.
در سال 1650 میلادی جان والیس بسط جالب زیر را برای عدد p عرضه کرد:

در سال 1671 میلادی جیمز گریگوری ریاضیدان اسکاتلندی سری نامتناهی زیر را به دست آورد:

آنچه گریگوری به آن توجه نکرد و «لایپ‌نیتز» در سال 1674 آن را می‌دانست این حقیقت است که به ازای 1=x داریم:

توجه کنید که این سری خیلی کند همگرا می‌شود. مثلاً برای اینکه p را تا 6 رقم اعشار به دست آوریم باید دو میلیون جمله آن را انتخاب کنیم.

در سال 1767 «یوهان هایزش لامبرت» نشان داد که عدد p گنگ است.

غیر جبری بودن عدد p
به راستی  چرا نمی‌توانیم پاره‌خطی به اندازه محیط دایره رسم کنیم؟ آیا این موضوع به گنگ بودن عدد p مربوط است؟ ما می‌توانیم بسیاری از اعداد گنگ نظیر و ... را  بسازیم. لاینحل بودن مسئله تربیع دایره تنها به این مربوط نیست که  p گنگ است و بلکه به خصوصیت دیگری از این عدد مربوط می‌شود. این ویژگی این است که p غیر جبری است یعنی نمی‌تواند ریشه یک معادله جبری به صورت زیر که در آن ai ها گویا هستند باشد:

ماهیت: «خرد و بینش و آگاهی دانشمندان ، ره سر منزل مقصود ترا آموزد.»
«یادآور=mnemonic» خوبی است برای آنکه تا ده رقم اعشار  p را به خاطر بسپاریم
...   5=آگاهی    1=و      4=بینش      1=و       3=خرد
در پایان این سوال مطرح می‌شود که به چند رقم اعشار p نیاز داریم؟ رشته سخن را به Simon Newcomb اخترشناس آمریکایی می‌دهیم:
«... ده رقم اعشار p کافی است تا محیط زمین را تا یک اینچ تقریب به ما بدهد و سی رقم اعشار، محیط تمام عالم قابل رؤیت را با تقریبی که برای نیرومندترین تلسکوپ‌ها غیر قابل تشخیص است فراهم می‌آورد.» اینها نمونه‌هایی بود از تلاش باغبانان همیشه سرفراز گلزار اندیشه و ادب. بزرگانی که در آرزوی رسیدن به گلهایی ویژه (سه مسئله مشهور یونان) عمری کوشیدند، هرچند به آن گلها راه نیافتند ولی در عوض با دامنی پر از ریحان و کشف گلهایی زیباتر زندگی انسان را با عطر دل‌انگیز دست‌آوردهایشان معطر ساختند. نامشان جاودانه باد.

 

 استفاده از عدد پی در ساخت تخت جمشید
مهندسان هخامنشی راز استفاده از عدد پی را دو هزار و پانصد سال پیش کشف کرده بودند. آنها در ساخت سازه های سنگی و ستون های مجموعه تخت جمشید که دارای اشکال مخروطی است، از این عدد استفاده می کردند.
عدد پی در علم ریاضیات از مجموعه اعداد گنگ محسوب می شود. این عدد از تقسیم محیط دایره بر قطر آن به دست می آید. کشف عدد پی جزو مهمترین کشفیات در ریاضیات است. کارشناسان ریاضی هنوز نتوانسته اند زمان مشخصی برای شروع استفاده از این عدد پیش بینی کنند. عده زیادی، مصریان و برخی دیگر، یونانیان باستان را کاشفان این عدد می دانستند اما بررسی های جدید نشان می دهد هخامنشیان هم با این عدد آشنا بودند.
«عبدالعظیم شاه کرمی» متخصص سازه و ژئوفیزیک و مسئول بررسی های مهندسی در مجموعه تخت جمشید در این باره،‌ گفت: «بررسی های کارشناسی که روی سازه های تخت جمشید به ویژه روی ستون های تخت جمشید و اشکال مخروطی انجام گرفته؛ نشان می دهد که هخامنشیان دو هزار و پانصد سال پیش از دانشمندان ریاضی دان استفاده می کردند که به خوبی با ریاضیات محض و مهندسی آشنا بودند. آنان برای ساخت حجم های مخروطی راز عدد پی را شناسایی کرده بودند.»
دقت و ظرافت در ساخت ستون های دایره ای تخت جمشید نشان می دهد که مهندسان این سازه عدد پی را تا چندین رقم اعشار محاسبه کرده بودند. شاه کرمی در این باره گفت: «مهندسان هخامنشی ابتدا مقاطع دایره ای را به چند ین بخش مساوی تقسیم می کردند. سپس در داخل هر قسمت تقسیم شده، هلالی معکوس را رسم می کردند. این کار آنها را قادر می ساخت که مقاطع بسیار دقیق ستون های دایره ای را به دست بیاورند. محاسبات اخیر، مهندسان سازه تخت جمشید را در محاسبه ارتفاع ستون ها، نحوه ساخت آنها،‌ فشاری که باید ستون ها تحمل کنند و توزیع تنش در مقاطع ستون ها یاری می کرد. این مهندسان برای به دست آوردن مقاطع دقیق ستون ها مجبور بودند عدد پی را تا چند رقم اعشار محاسبه کنند.»
هم اکنون دانشمندان در بزرگ ترین مراکز علمی و مهندسی جهان چون «ناسا» برای ساخت فضاپیماها و استفاده از اشکال مخروطی توانسته اند عدد پی را تا چند صد رقم اعشار حساب کنند. بر اساس متون تاریخ و ریاضیات نخستین کسی که توانست به طور دقیق عدد پی را محاسبه کند، «غیاث الدین جمشید کاشانی» بود. این دانشمند اسلامی عدد پی را تا چند رقم اعشاری محاسبه کرد. پس از او دانشمندانی چون پاسکال به محاسبه دقیق تر این عدد پرداختند. هم اکنون دانشمندان با استفاده از رایانه های بسیار پیشرفته به محاسبه این عدد می پردازند.
شاه کرمی با اشاره به این موضوع که در بخش های مختلف سازه تخت جمشید، مقاطع مخروطی شامل دایره، بیضی، و سهمی دیده می شود، گفت: «به دست آوردن مساحت، محیط و ساخت سازه هایی با این اشکال هندسی بدون شناسایی راز عدد پی و طرز استفاده از آن غیرممکن است.»
داریوش هخامنشی بنیان گذار تخت جمشید در سال 521 پیش از میلاد دستور ساخت تخت جمشید را می دهد و تا سال 486 بسیاری از بناهای تخت جمشید را طرح ریزی یا بنیان گذاری می کند. این مجموعه باستانی شامل حصارها، کاخ ها،‌ بخش های خدماتی و مسکونی، نظام های مختلف آبرسانی و بخش های مختلف دیگری است.

مسئله سوزن بوفن
احتمالا تعجب کنید اگر بشنوید که با سوزن میتوانید عدد مشهور p را حساب کنید. این مسئله را شخصی بنام بوفن حل کرد و به مسئله سوزن بوفن مشهور است. قضیه از این قرار است که سوزنی را انتخاب میکنید و صفحه خط کشی شده را در نظر میگیرید بطوریکه فاصله بین خطوط از طول سوزن بیشتر باشد. حال اگر سوزن را پرتاب کنیم، با چه احتمالی خط را قطع میکند؟ با محاسبه این احتمال عدد پی ظاهر میشود که از این ترفند میتوان برای محاسبه عدد پی استفاده کرد شما میتوانید برای دیدن این مسئله به بازی گرافیکی ارائه شده در سایت زیر مراجعه کنید
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/buffon.html

طول سوزن را "L" و فاصله بین خطوط را "D" در نظر بگیرید متغیر تصادفی "Y" را کوتاهترین فاصله ته سوزن تا یکی از خطوط موازی در نظر میگیریم و X را زاویه بین خط و سوزن در نظر بگیرید به شکل ها توجه کنید

با توجه به افتادن تصادفی سوزن خواهیم داشت

0 < Y.D
0

واضح است که محل افتادن سوزن و زاویه آن مستقل از هم میباشند. شما میتوانید به برنامه جاوا موجود در لینک زیر مراجعه کنید تا نحوه نموداری که قرار است تا بوسلیه آن احتمال را محاسبه کنیم را ببینید اhttp://whistleralley.com/java/buffon_graph.htm

مستطیل آبی ناحیه ای را نشان میدهد که ته سوزن و زاویه آن با خط میتوانند داخل آن قرار بگیرند. این متغیرهای تصادفی در زیر آمده اند
(Y , X)
 بالای سوزن به اندازه زیر از پایین آن بالا تر قرار گرفته است
L sinX

در صورتی سوزن خط را قطع میکند که اندازه فوق برابر "Y " شود یا اینکه موقعیت "Y" و "X" زیر منحنی فوق قرار بگیرد همانطور که در شکل نشان داده شده است ناحیه زرد جایی را که سوزن خط را قطع میکند نشان میدهد پس احتمال مورد نظر ما از تقسیم مساحت زرد بر کل مساحت مستطیل بدست می آید خواهیم داشت

محاسبه فوق به سادگی به دست میآید
چگونه عدد "p" را حساب کنیم؟
برای محاسبه عدد پی باید شما زحمت بکشید و چندین بار سوزن را پرتاب کنید مثلا "n " دفعه بعد تعداد دفعاتی که سوزن خط را قطع میکند را "m" بنامید پس خواهید داشت

منابع:
1- آشنایی با تاریخ ریاضیات، Howard W.Eves ، ترجمه دکتر محمد کاظم وحیدی اصل.
2- گوشه‌هایی از ریاضیات دوره اسلامی، J. L. Beggren، ترجمه دکتر محمدکاطم وحیدی اصل.
3- سرگرمی‌های هندسه، یاکوف پرلمان،ترجمه پرویز شهریاری
4- نه مقاله هندسه، حسن صفاری، ابوالقاسم قربانی.
5- ریاضیات چیست؟ ریچارت کورانت، هربرت رابینز، ترجمه حسن صفاری.
6- بحث ریاضی با دانش‌آموز، سرژلانگ، ترجمه نعمت عبادیان.
7- روش تدریس ریاضی در دبستان، محمود بهروش، علی‌اکبر جعفری، علی‌اصغر دانشفر.
8- کتاب معلم دوره راهنمایی، شادروان دکتر مسعود فروزان، محمدتقی دیبایی، پرویز فرهودی مقدم، صفر باهمت.

گردآوری و تنظیم:علی اکبر جعفری   
 14/5/1385