هر چند گاليله گفته است ? کتاب طبيعت را به زبان رياضی نوشته اند. ? وافزوده است که ? الفبای اين زبان مثلث ها ? دايره ها وساير شکل های هندسی اند که بدون آن ها انسان در هزار توی ظلمانی سردر گم مي‌شود.? اما اين شکل های هندسه ی اقليدسی در الگو سازی دستگاه های نامنظم به کار نمی آيند. اين پديده ها به هندسه ها?ی نياز دارند که از مثلث‌ها ودايره ها بسيار دورند. در مورد آنها بايد از ساختار های نا اقليدسی و بخصوص از هندسه ی نوينی به نام ? هندسه‌ی فراکتال ها ? استفاده کرد.
واژه ی فراکتال در سال ۱۹۷۵ از کلمه ی لاتينی فراکتوس  به معنی سنگی که به شکل نا منظم شکسته وخرد شده است ساخته شده است. فراکتال ها شکل ها?ی هستند که بر عکس شکل های هندسه ی اقليدسی به هيچ وجه منظم نيستند. اين شکل ها اولا سراسر نامنظم اند ? ثانيا? ميزان بی نظمی آن ها در همه ی مقياس ها يکسان است. جسم فراکتالی از دور و نزديک يکسان ديده می شود و به تعبيری ? خود ??? متشابه ? است. وقتی به يک جسم نزديک می شويم ? می بينيم که تکه‌های کوچکی از آن که از دور همچون دانه های بی شکلی به نظر می رسد ? به صورت جسم مشخصی در می آيد که شکلش کم وبيش مانند همان شکل کلی است که از دورديده می شد.
در طبيعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها ديده می شوند که سرخس ها وانواع گل کلم از آن جمله اند. زيرا به هرشاخه از گياه که نگاه کنيم ? تصوری از کل گياه در ذهن ما ايجاد  می شود. قوانين حاکم بررشد اين گياهان موجب می شود که ويژگی که در مقياس کوچک وجود دارد ? به مقياس های  بزرگ تر نيز منتقل شود.
ما فراکتال‌ها را هر روز مي‌بينيم: درختها ? کوهها? پراکنده شدن برگهاي پاييزي روي زمين . به تصويرهاي زير نگاه کنيد و سعي کنيد شباهت بين آنها را درک کنيد.

حالا به اين تعريف دقت کنيد: فراکتال شکل هندسي چند جزيي است که مي‌توان آن را به تکه هايي تقسيم کرد که انگار هر تکه يک کپي از " کل " شکل است. حالا دوباره به تصويرها نگاه کنيد!
به سختي بتوان باور کرد که چيزي مانند فراکتال‌ها بتواند اينقدر پيچيده و سخت باشد و در عالي ترين سطوح رياضي به کار رود و در عين حال بتوان به شکل يک سرگرمي خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهيم بترسانيمتان مي‌توانيم بگوييم که هندسه فراکتالي حرکت اشکال در فضا را ثبت مي‌کند و يا ناهمواري دنيا و انرژي و تغييرات ديناميک آن را نشان مي‌دهد ! اما راستش را بخواهيد فراکتال چيز ساده اي است به سادگي ابرها يا شعله هاي آتش.
واژه فراکتال از ريشه اي يوناني به معناي " تکه تکه شده " و"بخش بخش" آمده است و به نحوي تعريف رياضي اش را در خود دارد. به زبان ساده ? اشکال فراکتالي داراي 3 خاصيت عمومي هستند:
? تشابه به خود ¹
? تشکيل از راه تکرار ²
? بعد کسري ³

تشابه به خود self similarity
گربه‌ها ? قناري‌ها و کانگوروها به هم شبيه هستند اگر به نحوي بتوانيم شباهتي بين آنها پيدا کنيم. اما در هندسه تشابه معناي خاصي دارد که حتما? آن را در کتاب رياضي تان خوانده ايد و مي‌دانيد که تشابه ? يکساني اشکال در عين متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانيد با بزرگ يا کوچک کردن دو شکل آنها را درست مثل هم کنيد ? آن دو متشابه اند . اما شکل هاي خود متشابه کدام‌ها هستند?
اشکال زيادي وجود دارند که فراکتالي نيستند اما خود متشابه اند. به اين شکل دقت کنيد!
شکل کلي آن يک ذوزنقه است و خودش از ذوزنقه هاي کوچکتر کنار هم پديد آمده است. اين يک مثال از تشابه به خود است.
و اين هم سه شكل ديگر:

حالا به اين مثلث خاص نگاه کنيد.

اين مثلث بزرگ که نامش مثلث سرپينسکي است از مثلثهاي مشابه کوچکتر درست شده است که همين طور کوچکتر و کوچکتر هم مي‌شوند.
ببينيد چند سايز مثلث وجود دارد و آيا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند?

چند س?ال:
اگر اين شکل قرمز را شکل پايه در نظر بگيريم ? در شکل آبي چند نمونه از آن وجود دارد?
آيا مربع‌ها خود متشابه اند ? يعني مي‌توان با مربعهاي کوچکتر ? مربع بزرگي ساخت. شش ضلعي‌ها چطور?
آيا همه دايره‌ها متشابه اند ? آيا خود متشابه هم هستند?

تشکيل از راه تکرار Iterative formation
مقصود از تشکيل از راه تکرار چيست? يعني براي درست کردن يک فراکتال مي‌توانيم يک شکل معمولي هندسي ( مثلا? يک خط) را برداريم و با آن يک شکل پيچيده تر بسازيم. بعد با آن شکل به دست آمده شکل پيچيده تري بسازيم ? و همين طور به اين کار ادامه دهيم اشکال فراکتالي به اين طريق به وجود مي‌آيند و برنامه هاي کامپيوتري متعددي بر ايجاد آنها نوشته شده است. هر کدام از آنها هم اسم و رسمي براي خود دارند مثلا? مثلث سرپنيکي که قبلا? ديديد يا :
? دانه برف کخ  (كليك كنيد)
? فرش سرپينسکي  (كليك كنيد)
? اژدهاي هرتر - هاي وي  (كليك كنيد)
? مجموعه هاي جوليا و مندلبروت  (كليك كنيد)

غبار كانتور
در ادامه? مراحل تكرار در يك فراكتال را بررسي مي كنيم:
بخشي از يك خط را در نظر بگيريد و يك سوم مياني آن را خارج سازيد.آنچه باقي مانده يك خط است با يك فضاي خالي مياني
اين كار را تكرار كنيد يعني يك سوم مياني بخش هاي باقي مانده خط را خارج سازيد. حال تصور كنيد اين كار را تا بي نهايت انجام مي دهيد. آنچه حاصل مي شود فراكتال معروفي به نام " غبار كانتور" است.

ابعاد کسري fractional dimension
همانطور که مي‌دانيد ? يک نقطه بعد ندارد.
يک خط ? شکلي يک بعدي است
يک صفحه ? دو بعد دارد.
ودر آخر شکلهاي حجيم ? سه بعد دارند.
اما فراکتال‌ها مي‌توانند بعد کسري داشته باشند ! مثلا? 6/1 يا 2/4 . چطور چنين چيزي امکان دارد?
اگر يک پاره خط را نصف کنيم چه پيش مي‌آيد ?
حالا دو خط داريم که درست مثل هم هستند.
اگر هر دو بعد يک مربع را نصف کنيم چطور ? حالا چهار مربع هم اندازه داريم.
با نصف کردن هر سه بعد يک مکعب به هشت مکعب کوچکتر مي‌رسيم.
به جدول زير دقت کنيد:

چه الگويي وجود دارد ? به نظر مي‌رسد که بعد ? همان " توان " است. يعني براي پيدا کردن تعداد اشکال حاصله بايد 2 را به توان بعد آن شکل برسانيم.
سپس مي‌توانيم يک خط ديگر به اين جدول اضافه کنيم:

دوباره به مثلث آشناي خودمان نگاه کنيد.

---

If your browser recognized the applet tag, you would see the Sierpinski Triangle applet here.

---

اگر هر ضلع را نصف کنيم چند مثلث درست مي‌شود? به خاطر داشته باشيد که مثلثهاي سفيد جزو مثلث سرپينسکي نيستند. با نصف کردن هر ضلع به سه مثلث مي‌رسيم يعني

3 عددي است بين 2¹ و2² . کساني که لگاريتم بدانند ? به راحتي اين مس?له را حل مي‌کنند. خب مي‌بينيد که اين عدد 5849. 1 يک عدد کاملا? کسري است !
 

اين هم يك فراكتال زيبا:

در زير هم نمونه‌هاي زيباي ديگري از فراكتال‌هاي ساده و سه بعدي را مشاهده مي‌كنيد. با كليك بر روي هر يك مي‌توانيد عكس بزرگ آن فراكتال را ببينيد.

براي مطالعه بيشتر در مورد فراكتال‌ها هم مي‌توانيد به آدرسهاي زير مراجعه کنيد:

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/pic/article/fractals/fracintro/
http://www.math.umass.edu/~mconnors/pic/article/fractal/pic/article/fractal.html
http://www.geom.uiuc.edu/java/Leappic/article/fractal/
http://mathforum.org/alejandre/workshops/pic/article/fractal/pic/article/fractal3.html
1.self similarity
2.iteractive formation
3.fractional dimension

منابع:
مجله دانشمند
مدرسه اينترنتي تبيان
و ...